jueves, 27 de mayo de 2010

6.3 Determinacion delos valores y vectores caracteristicos de una matriz cuadrada

Cálculo de valores propios y vectores propios

Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.

Encontrando valores propios
Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que λ es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales (A - λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante: det(A- λI) = 0
La función p(λ) = det(A - λI) es un polinomio de λ pues los determinante se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.
Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación pA(λ) = 0.

Si A es una matriz n×n, entonces pA tiene grado n y A tiene como máximo n valores propios.

Encontrando vectores propios
Una vez que se conocen los valores propios λ, los vectores propios se pueden hallar resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo
(A - λI)V = 0

Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj

cuyo polinomio caracteristico es -λ^2 - 1 y sus valores propios son el par de conjugados complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.

Considérese la matriz:

que representa un operador lineal R³ ! R³. Si se desea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio característico







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