Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede).Diagonalizar una matriz es muy importante en el Álgebra Lineal, pues se cumple lo siguiente:
facilitando mucho el calculo de las potencias de A, dado que sieno D una matriz diagonal el calculo de su p-esima potencia es muy sencillo:
La matriz P se llama matriz de paso.
Puede que esto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era A directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. Dado que las matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada por A; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una base en la que la aplicación lineal A tiene una forma muy simple (diagonal). Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas, cuádricas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma de expresarlas.
La relación anterior entre las matrices A y D es importante y aparece en muchos contextos, así que tiene nombre propio:
Cuando dos matrices cuadradas A y B verifican que A = P B P-1 para cierta matriz cuadrada P (invertible, claro) decimos que A y B son semejantes.
Una matriz es diagonalizable cuando se puede diagonalizar; es decir, cuando podemos encontrar una matriz diagonal y una invertible de forma que la matriz se escriba como dijimos antes. Dicho de otra forma: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal.Entonces, más exactamente: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal real.
¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz?
Si conseguimos escribir una matriz A como A = P D P-1 , entonces podemos poner también A P = P D. Si D es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última igualdad lo que tenemos es que A xi = λi xi (donde xi es la columna i de A y λi es el número en el lugar i de la diagonal de D). Esto nos dice que para diagonalizar una matriz nos hace falta conocer los vectores a los que les pase algo así. Estos vectores también tienen nombre:
Si un número λ y un vector no nulo x verifican la relación A x = λ x diremos queλ es un valor propio o autovalor de la matriz A y que x es un vector propio o autovector de A asociado al valor propio λ.
Es fácil ver que diagonalizar una matriz A de tamaño n×n es lo mismo que encontrar n vectores propios linealmente independientes asociados a valores propios reales, ya que entonces podemos ponerlos por columnas y conseguir así la matriz P (puedes comprobar que entonces se cumple la relación que buscamos). Entonces, para diagonalizar una matriz lo que tenemos que hacer es buscar n vectores propios suyos linealmente independientes asociados a valores propios reales.
¿Cómo encontrar valores y vectores propios de una matriz?
Es fundamental, pues, hallar los valores propios de A y los vectores propios asociados. Como un vector propio l hace que el sistema Ax = λx tenga solución x distinta de cero, la matriz de coeficientes A −λI (donde I denota la matriz identidad de orden n) debe tener determinante no nulo. Este determinante det(A−λI) es un polinomio en λ de grado n y se denomina polinomio característico de A. Por lo tanto, los valores propios de A serán los ceros del polinomio característico de A.
Observa que una matriz puede perfectamente tener valores propios imaginarios.
Por otro lado, el conjunto de vectores propios de A asociados a un mismo valor propio λ forman un subespacio vectorial de Rn que se llama subespacio propio asociado al valor propio λ, y es el núclea de la matriz A −λI. Para concluir si una matriz A es o no diagonalizable bastará pues averiguar si hay "suficientes" valores propios reales para construir D y si hay"suficientes" vectores propios linealmente independientes asociados; esta información nos la dará la dimensión de los subespacios propios y queda recogida en el siguiente resultado:
Una matriz real cuadrada de orden n es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes asociados a valores propios reales.
Además, el teorema espectral nos confirma un caso en el que siempre es posible diagonalizar:
Toda matriz real simétrica es diagonalizable.
En este caso,se puede conseguir además que las columnas de la matriz de paso P sean una base ortonormal y por lo tanto que P sea una matriz ortogonal.
El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta
Det A=Det At , es decir, o denotando cada fila con el color usual en esta unidad,
Por tanto, todas las propiedades vistas para las filas de una matriz son también ciertas para sus columnas En la escena, se presenta a la izquierda el determinante de una matriz, y a la derecha, el de su traspuesta. Si variamos los valores de a, b, c, y d, es difícil ver que ambos paralelogramos coinciden. Veremos primero, geométricamente, que coinciden cuando la matriz es triangular.
EJEMPLO, Diagonalizar una matriz" se reduce a encontrar sus vectores y valores propios. Tomemos la matriz:
veamos que es diagonalizable:
Esta matriz tiene los valores propios: λ1 = -1, λ2 = 4
Así A es una matriz 2 por 2 con 2 valores propios diferentes, entonces se dice que es diagonizable.Si queremos diagonalizar A necesitamos calcular los correspondientes vectores propios. Ellos son:
Uno podría verificar fácilmente esto mediande:
Ahora, es la matriz invertible con los vectores propios de como columnas
con inversa 
Hallemos ahora la matriz diagonal, usando esta matriz P como sigue:
Realizamos el cálculo introduciendo los datos
Luego resulta que existen matrices P y D tales que
Cumpliendo P y D los requisitos pedidos al principio y por lo tanto la matriz A es diagonizable.
Potencias de una matriz diagonizable
Podemos calcular, por ejemplo, la séptima potencia de la matriz anterior:
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