Veamos primero que T respeta la suma.
1Sean (x,y),(x,y) cualesquiera en R^2
T((x,y)+(x',y')) = T((x+x',y+y'))
= (y+y';x+x')
= (y;x)+(y';x')
= T((x;y))+T((x';y'))
Ahora la multiplicación por escalar.
Sea (x,y) cualesquiera en R^2 y a en R
T(a(x;y)) = T((ax;ay))
= (ay;ax)
= a(y;x)
= aT((x;y))
con lo cual hemos demostrado que T es una transformación lineal
Demostrar que la siguiente funcion es una transformacion lineal
Veamos primero que T respeta la suma
Sean ax^2 + bx + c, ax^2'+ b'x + c' cualesquiera en R^2 [X]
T((ax2+bx+c)+(a'x2+b'x+c')) = T((a+a')x2+(b+b')x+(c+c'))
= ((a+a')-(b+b');2(c+c')+(b+b'))
= (a-b+a'-b';2c+b+2c'+b')
= (a-b;2c+b)+(a'-b';2c'+b')
= T(ax2+bx+c)+T(a'x2+b'x+c')
Ahora la multiplicación por escalar.
sea ax^2 + bx + c, cualesquiera en R2[X]y λ en R
T(x-ax2+bx+cx) = T(xax2+xbx+xc)
= (xa-xb;2xc+xb)
= (x(a-b);x(2c+b))
= x(a-b;2c+b)
= aT(ax2+bx+c)
con lo cual hemos demostrado que es una transformación lineal
por un ángulo Ө
Sea 0 ≤ Ө <> un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R^2
en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener un vector T(u)=(v1,v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
· Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
v1= T(u)٠cos(α+Ө) = (u)٠(cos α ٠ cos Ө - sen α ٠ sen Ө )
v2= T(u)٠sen(α+Ө) = (u)٠(sen α ٠ cos Ө - cos α ٠ sen Ө )
Distribuyendo y usando el hecho de que U1=u cos α y U2=u sen α tenemos que:
v1= U1 cos Ө - U2 sen Ө
v2= U2 cos Ө + U1 sen Ө
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación T:R^2 → R^2
tal que: T (U1 , U2) = (U1 cos Ө - U2senӨ,U2 cos Ө + U1 sen Ө )
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo Ө
y es lineal, ya que:
T [(U1 , U2)+ λ(v1 , v 2)] = T (u1 + λ v1 , u2 + λ v2 ) = ((u1 + λ v1)cos Ө - (u2 + λ v2) sen Ө, (u2 + λ v2) cos Ө + (u1 + λ v1) sen Ө) = (u1 cos Ө - u2 sen Ө, u2 cos Ө + u1 sen Ө) + λ (v1cos Ө - v2 sen Ө , v2 cos Ө + v1 sen Ө) = T(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)
Reflexión sobre el eje x
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R^2 en R^2 que cada vector u = (u1 , u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T (u) = ( v1 , v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
↑→
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
T(u1 , u2)=(u1 , - u2)
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
T[(u1 , u2)+ λ (v1 , v2)] = T(u1 + λ v1 , u2 + λ v2)
=(u1 + λ v1 , - u2 - λ v2)
=(u1 , - u2) + λ (v1 , - v2)
T=(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)
Proyección ortogonal sobre el eje x
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R^2 en R^2 que a cada vector u=(u1 , u2) lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector T(u)=(v1, v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
↑→
También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:
T(u1, u2) = (u1 , 0)
Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:
T[(U1 , u2) + λ (v1 , v2)] = T (u1+ λ v1 , u2 + λ v2)
=(u1 + λ v1 , O) = (u1 , O) + λ (v1 , O)
= T (u1 , u2) + λ T(v1, v2)
Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de R^2
W1 = {(x,0)/x Є R }
Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien, W1 tiene un complemento directo, a saber,
W2 = {(0,y)/y Є R }
De tal forma que cada vector (x , y) Є R^2 se escribe en forma única como suma de un vector de W1 más un vector de W2 como sigue:
(x,y) = (x,0)+(0,y)
Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a (x,y) sobre (x,0) , el cual es precisamente el término correspondiente a W1 en la descomposición anterior.
Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue:
Definición. Sea V un espacio vectorial y sea W1 c V un subespacio tal que existe W2 el complemento directo de W1 en V, es decir tal que V = W1 + W2 , de tal forma que cada vector v Є V se escribe en forma única como:
v = x + y
Con: x Є W1 y y Є W2
Definimos entonces la proyección sobre W 1 , como aquella transformación T:V→V tal que T(v) = x.
Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si v1=x1+y1 , v2=x2+y2 con xi Є W1 y yi Є W2 , entonces v1+ λv2=x1+y1+λ(x2+y2)=(x1+λx2)+(y1+λy2) con x1+λx2 Є W1 y y1+λy2 Є W2
Por lo tanto, de acuerdo a la definición de T, tenemos que:
T(v1+ λ v2)=x1+λ x2=T(v1+λ T(v2)
En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la proyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tener distintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complemento directo:
W2= {(X , X) / X Є R }
En efecto, es claro que W2 es un subespacio de R^2 y W1 --- W2= (0 , 0)
Además, cada (X , Y) Є R^2 se escribe como:
(x,y) = (x-y,0) + (y,y) Є W1 --- w2
Todo esto demuestra que R^2 = W1+W2
Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos que en este caso, la transformación queda dada como sigue:
T(x,y)=(x-y,0)
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